, נתונה קבוצה של זוגות מותרים של צבעים בפרק זה נתמקד בשני מקרים מיוחדים של בעית צביעתו של גרף עם אילוצים

צביעה עם אילוצים תקצירים נבחרים 4 בפרק זה אנו מביאים הרחבות של בעיית הצביעה של קודקודים ומציגים גרסאות שונות שלה עם אילוצי צביעה של הקודקודים ושל הצלעות באופן כללי נניח שנתון גרף לכל צלע = ( E) ( u ) C C קבוצה של צבעים C ( u ) E נתונה קבוצה של זוגות מותרים של צבעים קבוצה של צבעים מותרים S() C ( u ) E f : C f ( ) S( ) כך שלכל צלע ולכל קודקוד הבעייה תהיה אפוא להחליט האם קיימת צביעה ( f( u) f( )) ( u ) ולכל קודקוד? בפרק זה נתמקד בשני מקרים מיוחדים של בעית צביעתו של גרף עם אילוצים (RESRICED RAPH COLORIN) ה בעיה הראשונה שנתאר תהיה LIS COLORIN של גרפים בבעיה זו לא ינתנו אילוצים על הצלעות למעט חוקיות הצביעה דהיינו לכל צלע עלתה לראשונה באופן בלתי-תלוי על-ידי izing ב- 1976 ב- 1979 (או f( u) f( ) ( u ) E בעיה זו Erdös Rubin & aylor ועל-ידי [iz76] [ER79] של הבעיה השניה שנתאר תהיה -COLORIN של גרפים בבעיה זו לא קיימים אילוצים על הקודקודים (במובן שתארנו לעיל) ולמעשה בהנתן קבוצה של מספרים שלמים לא-שליליים -צביעה היא הפונקציה f : N + באופן שלכל צלע ( u ) E (-coloring f( u) f( ) מתקיים לבסוף נציג באופן חלקי גם את בעית LIS--COLORIN בגרפים שילוב טבעי של שתי הבעיות שתארנו תקצירים מתוך הספר "מבוא לבעיות צביעה בגרפים" מאת דודו אמזלג נובמבר 2002 מהדורה זמנית פנימי - לא להפצה האוניברסיטה הפתוחה כל הזכויות שמורות 1

צביעה עם אילוצים על הקודקודים List Coloring of raphs 41 נניח שנתון גרף = ( E) ולכל קודקוד של אותו קודקוד מתי אפוא קיימת צביעה (במובן הרגיל) עבור רשימתו? באופן פורמלי לכל קודקוד בגרף של פונקציית הבחירה = ( E) באופן שלכל f ( ) S( ) כל בחירה של רשימות של צבעים באורך נתונה גם רשימה של צבעים מותרים עבור צביעה של באופן שכל קודקוד יצבע בצבע מתוך תהי ( )S רשימת הצבעים המותרים לצביעה של הקודקוד f היא צביעה חוקית list coloring או (choice function) גרף נקרא -choosable (או (list -colorable אם מתוך הרשימות מספר הבחירה עבור קודקודי הגרף מאפשרת צביעה חוקית (במובן הרגיל) של list chromatic או ה- number ch( ) (choice number) ( ) χ l של הגרף הוא המספר הטבעי הקטן ביותר שעבורו -choosable הוא אנלוגית עבור צלעות בעיית ה- coloring list מוגדרת בצורה דומה כאן נתונות רשימות ) ( Le e המספר הטבעי הקטן ביותר כך שב- קיימת צביעה של E ) ch'( או list chromatic נקרא ה- index של צבעים מותרים עבור כל צלע צלעות מאיזושהי משפחה של רשימות באורך של הגרף χ ' ( ) l באופן בסיסי הטבעי של קודקודיו של מספר הבחירה list coloring של קודקודים בגרף נתון היא הכללה של צביעה במובנה לפיכך אך הגיוני לבקש אחר קשרים בין המספר הכרומטי χ( ) ( ch( של גרף נתון באופן טריויאלי מספר הבחירה אינו קטן מהמספר הכרומטי לבין משפט 41 χ ( ) ch( ) בכל גרף מתקיים הוכחה נסמן ב- את מספר הבחירה של מההגדרה נובע כי כל אוסף של רשימות באורך על קודקודיו ובפרט עם -צביע והמספר הכרומטי הינו לכל היותר הוא S( ) = 12 ניתן לצביעה coloring) (list עם { } לכל לפיכך C 2r מעגלים באורך זוגי הם דוגמא טריויאלית לגרפים שעבורם המספר הכרומטי ומספר הבחירה שווים לעומת זאת לא קשה למצוא גרפים שמספר הבחירה שלהם גדול מהמספר הכרומטי איור 41 מתאר גרפים דו-חלקיים שאינם ניתנים לצביעה עם רשימות נתונות באורך 2 עובדה שממנה נובע כי אלו אינם 2-choosable בכל אופן הנסיון למצוא חסמים עליונים למספר הבחירה ch( ) של הגרף χ( ) נכשל במקרה הכללי שכן קיימים גרפים דו-חלקיים שאינם -choosable Erdös Rubin & aylor הראו [ER79] במונחים של שלכל מספר טבעי 2

-choosable אינו m m (Erdös Rubin & aylor [ER79]) m אזי הגרף הדו-חלקי השלם משפט 42 2 1 אם X נתאים לכל אחד מקודקודי m m Y X הוכחה יהיו ו- אחת מהתת-קבוצות בגודל דו-חלוקה של הגרף הדו-חלקי השלם של הקבוצה את כרשימת הצבעים המותרת עבורו ובאופן אם f f { 12 2 1} Y דומה נעשה זאת גם לקודקודי צבעים על אזי קיימת תת-קבוצה נתבונן כעת בפונקצית בחירה משתמשת בפחות מ- 'שאינה בשימוש' דהיינו אף צבע לא נבחר f S { 12 2 1} לצביעת הקודקוד ב- ש- S היא רשימתו מצד שני אם משתמשת ב- צבעים לפחות בצביעת 'S 1 2 2 בגודל של צבעים שבהם צובעים את (כל) קודקודי X אזי קיימת תת-קבוצה 1 S ' Y { } X X קודקודי X ולפיכך אף צבע לא יוכל להבחר בצביעת הקודקוד ב- ש רשימתו היא כמסקנה מיידית של משפט 42 אנו מקבלים: מסקנה 43 ch( ) χ( ) > n לכל מספר טבעי n קיים גרף שעבורו הוכחה תרגיל 45 {13} {13} {23} {13} {23} {12} {12} {23} {13} {12} {23} {12} {12} {12} {12} {12} {34} {23} {12} {13} {24} {23} {14} {13} {13} {12} {23} איור 41 גרפים דו-חלקיים שאינם 2-choosable 3

באותו מאמר [ER79] זה נדרש למספר הגדרות הגרף Rubin אפיין את הגרפים שהינם 2-choosable ' המתקבל על-ידי הסרה של כל קודקודי הגרף בטרם נתאר אפיון בעלי דרגה 1 נקרא a 1 ו- prs θ -י אם הוא מורכב משני קודקודים הליבה (core) של הגרף כעת גרף נקרא הגרף ה- r ו- s (כאן הכוונה למספר הצלעות במסלול) המחברים p ומשלושה מסלולים פנימיים זרים באורך a 2 a 2 a 1 ל- את המשפט הבא יובא ללא הוכחה (Rubin [ER79]) משפט 44 (core) קשיר הוא 2-choosable = C θ : r 2 p 1 גרף אם ורק אם הליבה של שייכת לקבוצה { 1 2r 222 p } 42 עצים כפי שכבר ראינו בהנתן גרף לצביעה שלכל = ( E) כשלכל קודקוד נתונה גם רשימת הצבעים המותרים f : N היתה האם קיימת צביעה חוקית LIS COLORIN בעיית ההחלטה S( ) ) f( u) f( בנוסף ( u ) E ולכל צלע f( ) S( ) כך ראינו שבעיית ההחלטה LIS COLORIN היא הכללה של בעיית ההחלטה CHROMAIC NUMBER ולפיכך גם היא בעיית NP-complete מ- כאמור אחת הדרכים להתמודד עם קושי זה של אי-יכולת פולינומיאלית לפתור בעיה נתונה היא להגביל את הטיפול למקרים פרטיים של הבעייה הגבלה שעשויה להקל במציאת אלגוריתם מהיר יותר לפתרון ציינו כבר כי רובן של בעיות ה- NP-hard שעניינן גרפים לא-מכוונים ניתנות לפתרון בזמן פולינומיאלי (ואף ליניארי) כאשר מגבילים את הקלט לעצים בסעיף זה נתאר אלגוריתם תכנון-דינמי הרץ בזמן ליניארי לפתרון בעיית LIS COLORIN על עצים נניח שנתון עץ r נקבע קודקוד כלשהו = ( E) לכל קודקוד r צלע מכוונת נסמן ב- ( )C את קבוצת הילדים של כשורש ונכוון את צלעות העץ הלאה דהיינו כל אותם הקודקודים u ( u) E קודקודים פנימיים של קודקוד יהיו עלים ב- { } בעלי יהיו קודקודים ללא ילדים וקודקודים שאינם עלים יקראו ו- m} { color( ) 012 unique() FALSE RUE אם צבע הוא יחיד עבור צביעה של קודקוד כלשהו כלומר שני גדלים שיוגדרו לכל = 1 () S אנו אומרים כי unique() = RUE אחרת unique() = FALSE S() = { c} כי color( ) = c ליתר הקודקודים נסמן במצב התחלתי נקבע עבור הקודקודים שלהם color( ) = 0 4

u C postorder אם לילד ) ( של קודקוד סדר סריקת הקודקודים במהלך פעולתו של האלגוריתם יהיה יש צבע יחיד (כלומר ( unique( u ) = RUE לא נוכל להשתמש בצבע זה בצביעת את קבוצת הצבעים היחידים של ילדי ברור מכאן כי לאחר קביעת קבוצת צבעים 'אסורה' הקודקוד אנו נסמן אפוא ב- ( forbidden( הקודקוד לא יוכל להצבע באף אחד מהצבעים ב- ( forbidden( זו יחושבו הגדלים ) unique( ו- ) color( List Coloring Algorithm Input: ree = ( E) feasible color sets S( ) with S () 1 for all Output: YES if and only if there exists a feasible list coloring of 1 for all in a postorder traersing of do 2 let forbidden( ) be the empty set; 3 for all u C ( ) do 4 if unique() = RUE then 5 ( ) forbidden( ) color( u) 6 if S() forbidden() 2 then 7 unique() = FALSE ; 8 color( ) = 0; 9 if S( ) forbidden( ) = { c} then 10 unique() = RUE ; 11 color( ) = c ; 12 if S( ) forbidden( ) is empty then 13 return NO; 14 return YES; ; forbidden = { } כדי להראות את נכונות האלגוריתם מספיק להוכיח את הטענה הבאה u C( u) I( u) { ( u) w C( u) unique( w) I = = FALSE טענה 45 תהי } שאינם 'יחידים' ותהי קבוצת הילדים של קודקוד פנימי קבוע קבוצת הצבעים 'היחידים' של יתר הקודקודים ב- f ( u) S( u) forbidden( u) forbidden( u) של הקודקוד u בצבע ניתנת להרחבה לכל אזי כל צביעה (u f ( הקודקודים ב- u) C( w I ( u) unique( w ) = FALSE הוכחה ו- מאחר ו- לכל קודקוד בצביעת תת-העץ המושרש ב- w לפיכך בהנתן צביעה קיימים לפחות שני צבעים אפשריים של לפחות אחד משני u f( u) w (u )f וניתן להשתמש בצבע זה לצביעת הקודקוד f ( w) 2 f ( w) 1 צבעים אלה אינו זהה ל- 5

סריקת העץ בסדר החישוב של קבוצת הצבעים postorder forbidden( ) ניתנת לביצוע בזמן עבור כל קודקוד O( ) אינו גדול מ- ()) C O( S( ) forbidden( ) מכילה צבע אחד או שניים יכולה להיעשות בזמן של מאחר ולכל קודקוד בעץ יש לכל היותר אב יחיד ומאחר ו- של האלגוריתם הינו וההחלטה זמן האם O( forbidden( ) + 2) forbidden() C() ) O( לכל היותר זמן הריצה הכולל צביעה אפשרית אם קיימת יכולה להיעשות גם כן בזמן ליניארי במהלך פעולתו של האלגוריתם (שורות 6-8) אנו מחשבים שני צבעים אפשריים f1( ) ) f2( ו- O( forbidden( ) + 2) עבור צביעתם של קודקודים unique() = FALSE פעולה זו כאמור נעשית בזמן בסופו של האלגוריתם עלינו לחזור ולסרוק שוב את העץ הפעם בסדר אפשרית בזמן ליניארי עבור כל עם preorder ולחשב צביעה אחת 43 גרפים מישוריים אחת התוצאות הפשוטות והמרשימות ביותר בצביעה של גרפים עם אילוצים על הקודקודים היא פתרון בעיית LIS COLORIN בגרפים מישוריים: כל גרף מישורי הינו 5-choosable ב 1975- שיער izing כי הוכחתו של Heawood למשפט חמשת הצבעים (הוכחה ראשונה למשפט 29) ניתנת להכללה לבעיית ה- coloring list השערה זו אף הועלתה באופן בלתי-תלוי על-ידי Erdös Rubin & aylor [ER79] ב- 1993 הראה [oi93] oigt צבעים אינם מספיקים לגרסת ה- coloring list של בעייה הוא הציג גרף כי שלא כמו בצביעה 'רגילה' של גרפים מישוריים ארבעה בעל 238 קודקודים שהיה עם 5 ( ch( את הטענה כי כל אוסף של רשימות צבעים באורך 5 על קודקודיו של גרף מישורי אכן מאפשריים את צביעתו הוכיח ביותר אלגנטי ופשוט להפליא [ho94-1] homassen ב- 1994 באמצעות טיעון אינדוקטיבי קצר (homassen [ho94-1]) משפט 46 כל גרף מישורי הוא 5-choosable = ( E) הוכחה נוכיח טענה חזקה יותר עבור כל גרף מישורי המכיל לפחות שלושה קודקודים: C = נניח שכל תחום (face) פנימי של 1 1 חסום על-ידי המעגל בצבע 2 לבסוף נניח כי לכל קודקוד אחר של חסום על-ידי משולש ואילו התחום החיצוני בנוסף נניח ש- 1 כבר נצבע בצבע 1 2 ו- C 1 או (שאינו של שלושה צבעים לפחות המותרים לצביעה ולכל קודקוד של ( 2 קיימת רשימה C קיימת 2 ו- 1 רשימת של 5 צבעים מותרים לפחות אזי ניתן להרחיב את הצביעה של לכל הגרף תחת אילוצי הרשימות 6

נראה תחילה כי משפט 46 אכן מתקבל מטענה זו נניח שנתון גרף מישורי כלשהו יחד עם רשימות צבעים באורך 5 על כל אחד מקודקודיו נוסיף לגרף צלעות עד שמתקבל גרף מישורי מקסימלי 1 הינה השפה (boundary) של 2 3 1 דהיינו כל תחום חסום על-ידי משולש (משפט 118) נניח אפוא כי 2 בצבעים מותרים מרשימותיהם ונרחיב צביעה זו לפי 1 ו- התחום החיצוני נצבע כעת (באופן חוקי) את הטענה הנ"ל לצביעה כוללת של הגרף מהרשימות הנתונות = C ניגש כעת להוכחה באינדוקציה (על גודל הגרף) של הטענה אם הגרף מכיל שלושה קודקודים אזי והטענה טריויאלית כעת נניח כי יותר נבחין בשני מקרים אפשריים: 4 וכי הטענה נכונה עבור גרפים עם מספר קודקודים קטן אם המעגל C מכיל מיתר כשקיימת צלע e = ( w) E ( ) E e אזי 1 2 הנמצאת על מונחת על שני מעגלים ספציפיים 2 1 ו- C 2 נסמן ב- C 1 אך לא על C C C + ( w) 1 2 C 2 בהתאמה או על התחום C 1 ו- את שני התת-גרפים המושרים על-ידי הקודקודים הנמצאים על 1 ניתנת 21 1 לפי הנחת האינדוקציה הצביעה של הפנימי שלהם (איור 42) נתבונן כעת ב- 2 קיימים שני קודקודים שכבר w} { ולכן ב- 1 2 1 נשים כעת לב כי להרחבה לכל הגרף צבועים (וליתר לפי הנתון רשימות צבעים באורך 3) לפיכך לפי הנחת האינדוקציה גם צביעה זו של w ניתנת להרחבה לכל 2 דבר שיביא לצביעה כוללת של הגרף ו- 1 1 1 2 2 = w 2 צעד האינדוקציה עבור המקרה בו קיים מיתר ( w) E איור 42 (כשהם um 1 u1 את שכניו של הקודקוד 1 אם C אינו מכיל מיתרים נסמן ב- שעל ) C מהגדרת C עולה כי כל הקודקודים מסודרים לפי הסדר המעגלי הטבעי מסביב לקודקוד P = u הוא מסלול 1 1um 1 u i מונחים על התחום הפנימי של C (איור 43) מהיות הגרף מקסימלי ב- ו- ) ( = ' הוא מעגל C P C 7

1 u 3 u 2 P u 1 1 2 C ' איור 43 צעד האינדוקציה עבור המקרה שבו לא קיימים מיתרים נבחר כעת שני צבעים שונים j l 1 מרשימתו של ונמחק צבעים אלה מכל רשימותיהם של u i ה- םי- כעת לכל קודקוד שעל ' C קיימת רשימת צבעים באורך 3 לפחות ולפי הנחת האינדוקציה ניתן C' לכדי צביעה כוללת של 1 2 להרחיב את צביעתם של ולפיכך נוכל להשתמש בצבע זה כדי לצבוע את 1 נוצל לצביעתו של j l לפחות אחד משני הצבעים לא (empe נעיר כי בהוכחה זו לא נעשה שימוש בטיעוני צביעה מסורתיים (כמו למשל טיעון השרשרת של כמו גם בנוסחת אוילר ובהשלכותיה כמו שנעשה בהוכחה 'הסטנדרטית' של משפט חמשת הצבעים לרוע המזל דרך דומה לא צלחה במשפט ארבעת הצבעים: גרפים מישוריים אינם בדרך כלל -4 choosable -Coloring of raphs 44 צביעה עם אילוצים על הצלעות יהי = ( E) היא הפונקציה גרף ותהי קבוצה של מספרים שלמים לא-שליליים f : N + באופן שלכל צלע ( u ) E שני קריטריונים חשובים למדידת איכותה של צביעה כזו הסדר הצבעים השונים שבהם משתמשים כדי לצבוע 'במובן הרגיל' את הגרף הערך הגדול ביותר של בפרישת הצלעות מתקיים -צביעה (או (-coloring של ישנם f( u) f( ) (order) של -צביעה הוא מספר f של (span) והפרישה f( u) f( ) על-פני כל זוגות הקודקודים u f( u) f( ) היא בנוסף נתעניין גם (edge span) χ ( נסמן אפוא ב- ) ( u ) E הערך הגדול ביותר של esp ( ) וב- sp ( ) הסדר הפריסה ופריסת הצלעות של הגרף גדלים אלה יקראו גם על-פני כל הצלעות את הערכים הקטנים ביותר בהתאמה של - chromatic number של הגרף edge span ו- span בהתאמה 8

ו- 1 ) sp ( ) = χ ( χ ( ) χ ( ) = χ ( ) ={0} sp ( ) = esp ( ) נשים לב כי אם יתר על כך בהמשך נראה כי אזי באופן טריויאלי ולפיכך במקרה הכללי בעיית חישובם של 45} { 01 = נניח שאנו צובעים 31 = 3 {0} {0} NP-complete הינה בעיית esp ו- ) ( כדי להדגים מושגים אלה נתבונן במקרה בו עם sp ( ) את ערכו של באמצעות האלגוריתם החמדני קל לראות כי במקרה זה הצבעים שיבחרו יהיו אך בחירה של הצבעים ו- 9 זהו ודאי תקטין את ערכו של -span מ- 8 ל- 6 לא קשה χ ( ( המבטיחה שימוש ב- -צביעה 41 ו- 7 בכל אופן sp ( ) sp ( ) χ ( ) לברר כי זהו אכן גם ערכו של בהכרח אופטימלית עבור וההפך אם לדוגמא צבעים אינה אזי sp ו- 45} { 01 = ( ) = C 5 [Hal80] χ ( ( ב- -צביעות ו- צבעים (ימין) ועם פרישה אופטימלית esp ( ) sp ( ) = 4 ו- ( ) 3 χ = (שמאל) מתוארות באיור 44 ערכו הקטן ביותר של (bandwidth) של הגרף בהנתן גרף המכיל מרכז עניין מיוחד שכן גודל זה קשור לרוחב-הפס (linear arrangement) קודקודים סידור ליניארי n הוא השמה של המספרים n 12 ביותר של זוג מספרים הנמצאים על נקודות הקצה של צלע כלשהי בגרף על הקודקודים ורוחב-הפס של הגרף מוגדר להיות ההפרש הגדול 5 4 3 2 7 1 1 4 1 4 וההפך sp ( ) איור -צביעה 44 המשתמשת במספר צבעים מינימלי אינה בהכרח אופטימלית עבור הבעיה למצוא סידור ליניארי כזה שיביא לרוחב-פס מינימלי היא [Pap76] NP-hard בעיית ה- ={0} esp אפוא מציאת ערכו הקטן ביותר של ( ( עבור -צביעה עם BANDWIDH היא נציין כי בעייה זו נותרת קשה גם עבור עצים [J+78] אך מאידך ניתנת לפתרון בזמן פולינומיאלי עבור משפחות רבות של גרפים ועבור קבוצות בעיית חישובו של ה- span edge [CR82] רבות ( ) 1 f( ) 1 0 χ = ו - היא -צביעה לכל שכן אחרת בדרך כלל נניח כי sp( ) = esp( ) = 0 9

(Cozzens & Roberts [CR82]) משפט 47 χ ( ) = χ( ) בכל גרף מתקיים χ נתבונן כעת ( ) χ( ) הוכחה מאחר ו- 0 -צביעה של הגרף בצביעה (במובן הרגיל) ( )f של בצבעים 12 χ ונסמן ב- r g ( ) = ( r+ 1) f( ) r תהי r = max{ } דהיינו f( u) f( ) שכן gu ( ) g ( ) = ( r+ 1) f( u) f( ) r+ 1 הגרף ב- ) χ = χ( הצבעים 1 r + 2 2r + 3 ( χ 1) r + χ היא צביעה ולפיכך לכל צלע את הערך הגדול ביותר של הקבוצה ) ( u מתקיים אפוא g E אם כך ומכאן היא -צביעה של χ ( ) χ( ) sp סדרת המשפטים χ משפט 47 מעלה כי למעשה אינו גודל חדש לפיכך הדגש שניתן יתמקד ב- sp הבאים מעלים חסמים קומבינטוריים ל- r = max{ } χ (Cozzens & Roberts [CR82]) ( ) 1 sp ( ) ( r + 1)( χ( ) 1) מסקנה 48 לכל גרף ולכל קבוצה באשר ( χ 1) r + χ 1 = ( r + 1)( χ 1) g הוכחה ל- -הצביעה הנבנית בהוכחה יש את הפריסה sp ( ) Cozzens & Roberts נעיר כי החלק הימני של אי-השויון כלומר החסם העליון של בנוסף הראו שופר על-ידי esman [CR82] = { 01 } מתקיים עבור קבוצה מהצורה r S t = מקום שם sp ( ) t( χ( ) 1) ל- [es89] sp כי שויון כלומר 1) ) ( ) = ( r + 1)( χ( באשר S אינה מכילה כפולה של 1+ r (Cozzens & Roberts [CR82]) משפט 49 sp ( ) esp ( ) χ( ) 1 בכל גרף E) = ( מתקיים תהי f esp ( ) = sp ( ) {0} {0} הוכחה ל- תחילה נראה כי { 0 }-צביעה בעלת פרישה של צלעות השווה m בינות כל הצביעות f הללו נבחר את זו שהינה בעלת פרישה (span) מינימלית p = m 12 mm+ 1 f esp ( ) = p {0} בלי הגבלת הכלליות נניח שהצבעים בהם משתמשת נניח כי הם נראה כעת כי f( u) f( ) = p ) נניח אפוא את האפשרות נשנה כעת את f ( u ) E f( ) m + 1 p< m f( u) m + 1 או ש- ( f( ) 1 כעת (ואז מההגדרה עולה כי קיימת צלע (ואז שעבורה 1 ו- + 2 p f( u) 1 הראשונה דהיינו לא קיימות צלעות בין קודקודים הצבועים בצבעים שכל אותם הקודקודים שנצבעו בצבע כך 1 יחליפו צבעם ל- + 2 p כלומר קיבלנו { 0 }-צביעה חדשה לצביעה זו יש עדיין פרישת צלעות span) p (edge אבל ברור שהפרישה שלה קטנה מ- m בסתירה 10

י- f ו- esp esp ( ) = m {0}( ) sp{0} {0} מאחר ו- ) ( לבחירה של f לפיכך esp esp ( ) {0}( ) = sp{0} עולה כי ) ( {0} פרישת הצלעות span) (edge והפרישה (span) שווים ל- מכאן התוצאה המבוקשת מתקבלת על-ידי 1 ) esp ( ) esp ( ) = sp ( ) = χ( היא צביעה שעבורה {0} {0} (Cozzens & Roberts [CR82]) מסקנה 410 sp ( ) χ( ) 1 לכל גרף ולכל קבוצה sp ( ) esp ( ) הוכחה מקרה מיוחד של בעיות צביעה עם אילוצים טבעי של בעיות הצביעה LIS COLORIN ו- -COLORIN [es93] את המספר הכרומטי ה- LIS--COLORIN מתקבל על-ידי שילוב של גרפים ב- 1993 הגדיר esman ( -choice number) כמספר הקטן ביותר שעבורו הגרף הינו בר צביעה בשילוב זה (list--colorabale) עבור כל השמה של רשימות צבעים מותרים באורך על-פני הקודקודים קל לראות לדוגמא כי אם הרשימה = 3 {1234 } אזי צביעת ו- {01 { = ולכל קודקוד אנו בוחרים את list--coloring אינה אפשרית עבור בכל אופן ניתן להראות כי צביעה כזו אכן אפשרית אם כל רשימת צבעים תכיל שבעה צבעים לפחות וכי 4 < ch( ) 7 3 הערות NP-complete בעיות צביעה עם אילוצים כבעיות החלטה הן בדרך כלל בעיות מקרים פרטיים שלהן מתארים את בעיות הצביעה קלאסיות כדוגמת CHROMAIC NUMBER ו- RAPH -COLORABILIY ב- 2001 הציג [Bod01] Bodlaender דרך ישירה להוכיח כי בעיות צביעה עם אילוצים הינן קשות (בדומה לזו של Coo על ה- NP-completeness של בעיית ה- SAISFIABILIY ) מספר סקירות מצויינות פורסמו בעשר השנים האחרונות על choosability ו- coloring list בין היתר נציין את חיבורו המקיף של [Alo93] Alon ואת עבודתם של [oi98] oigt [uz97] uza ושל [99] ratochil uza & oigt מגוון שיטות להתמודדות עם ה- NP-hardness של בעיית ה- BANDWIDH מצויות במאמרו של [Fei00] Feige 11

ביבליוגרפיה [Alo93] [A92] [Bod01] [Cos93] [CR82] [Die00] [ER79] [Fei00] [J+78] [LS84] [Hal80] [J95] [99] [Pap76] N Alon Restricted colorings of graphs in ( Waler ed) Sureys in Combinatorics Proc 14th British Combinatorial Conference Cambridge Uniersity Press 1-33 1993 N Alon and M arsi Colorings and orientation of graphs Combinatorica 12: 125-134 1992 H L Bodlaender A generic NP-hardness proof for a ariant of graph coloring J Uniersal Computer Science 7:1114-1124 2001 D Costa On the use of some nown methods for -colorings of graphs Annals of Operations Research 41: 343-358 1993 M B Cozzens and F S Roberts -colorings of graphs and the channel assignment problem Congressus Numerantium 35: 191-208 1982 R Diestel raph heory raduate ext in Mathematics Springer- erlag New-Yor 2nd edition 2000 P Erdös A L Rubin and H aylor Choosability in graphs Congressus Numerantium 26: 125-157 1979 U Feige Coping with NP-hardness of the graph bandwidth problem Proc 7th Scandinaian Worshop on Algorithm heory (SWA '00) Bergen Norway 10-19 2000 M R arey R L raham D S Johnson and D E nuth Complexity results for bandwidth minimization SIAM J Applied Math 34: 477-495 1978 M rötschel L Loász and A Schrijer he ellipsoid method and its consequences in combinatorial optimization Combinatorica 1: 169-197 1981 See also Combinatorica 4: 291-295 1984 W Hale Frequency assignment: heory and applications Proc IEEE 68: 1497-1514 1980 R Jensen and B oft raph Coloring Problems Wiley New-Yor 1995 J ratochil Zs uza and M oigt New trends in the theory of graph colorings: Choosability and list colorings DIMACS Series in Discrete Mathematics and heoretical Computer Science 49 183-198 1999 C H Papadimitriou he NP-completeness of the bandwidth minimization problem Computing 16: 263-270 1976 12

[Rob91] [es93] [ho94-1] [uz97] [iz76] [oi93] [oi98] F S Roberts -colorings of graphs: recent results and open problems Disc Math 93: 229-245 1991 B A esman List -colorings of graphs Disc Appl Math 45: 277-289 1993 C homassen Eery planar graph is 5-choosable J Combinatorial heory B 62: 180-181 1994 Z uza raph coloring with local constraints A surey Discussiones Mathematicae raph heory 17(2): 161-228 1997 izing Coloring the ertices of a graph in prescribed colors Metody Disret Anal eorii odo I Schem 29: 3-10 1976 (in Russian) M oigt List coloring of planar graphs Discrete Math 120: 215-219 1993 M oigt On list colourings and choosability of graphs echnical Report Faculty of Mathematics and Natural Science echnical Uniersity of Ilmenau Ilmenau ermany 1998 13